20.500.12556/RUP-22836 The Clar-Fries mystery Clar-Friesova skrivnost A fullerene is a 3-regular plane graph whose faces are hexagons and pentagons. The Fries number of a fullerene is the largest number of benzene rings over all possible Kekulé structures while the Clar number of a fullerene is the largest number of independent benzene rings over all possible Kekulé structures. One question was whether it is always the case that a largest set of independent benzene rings, giving the Clar number, must be a subset of some largest set of benzene rings giving the Fries number. This question is still open for benzenoids, but was answered negatively for fullerenes, with the first counterexample given in paper from E. J. Hartung in 2014. In 2016 in paper from J. E. Graver and E. J. Hartung, the authors constructed a family of fullerenes with the property that the set of benzene rings giving the Clar number was actually disjoint from the set of benzene rings giving the Fries number. Fowler and Myrvold then developed a program for computing the Clar number directly and discovered a significant number of fullerenes in which the Clar sets were not a subset of any Fries set and most of these were not of the type constructed in paper from J. E. Graver and E. J. Hartung in 2016. Exactly why this occurs is somewhat of a mystery. In her Ph.D. thesis, Hartung developed the concept of Clar chains to describe the Kekulé structure giving the Clar sets; in his Ph.D. thesis, Fenton developed the concept of a Fries mesh to describe the Kekulé structure giving the Fries sets. Comparing these two constructions enables us to shed some light on this mystery. Fulleren je 3-regularen ravninski graf, katerega ploskve so šestkotniki in petkotniki. Friesovo število fullerena je največje možno število benzenskih obročev med vsemi Kekulé-jevimi strukturami, medtem ko je Clarovo število fullerena največje število medsebojno neodvisnih benzenskih obročev med vsemi možnimi Kekuléjevimi strukturami. Eno od vprašanj je bilo, ali vedno velja, da mora biti največja množica neodvisnih benzenskih obročev, ki daje Clarovo število, vedno podmnožica neke največje množice benzenskih obročev, ki daje Friesovo število. To vprašanje je za benzenoide še vedno odprto, za fullerene pa je bilo odgovorjeno negativno. V članku iz leta 2016 so avtorji konstruirali družino fullerenov z lastnostjo, da je množica benzenskih obročev, ki daje Clarovo število, dejansko disjunktna z množico benzenskih obročev, ki daje Friesovo število. Fowler in Myrvold sta nato razvila program za neposredno izračunavanje Clarovega števila in odkrila precejšnje število fullerenov, pri katerih Clarove množice niso bile podmnožice nobene Friesove množice, pri čemer večina teh fullerenov ni bila tipa, opisanega v konstrukciji iz leta 2016. Zakaj natančno do tega prihaja, ostaja deloma skrivnost. V svoji doktorski disertaciji je Hartung razvila koncept Clarovih verig za opis Kekulejeve strukture, ki daje Clarove množice; v svoji doktorski disertaciji pa je Fenton razvil koncept Friesove mreže za opis Kekulejeve strukture, ki daje Friesove množice. Primerjava teh dveh konstrukcijnam omogoča nekoliko osvetliti to skrivnost. fullerene Clar number Fries number fuleren Clarovo število Friesovo število true false true Založba Univerze na Primorskem Angleški jezik Slovenski jezik Članek v reviji 2026-03-23 09:59:41 2026-03-23 09:59:41 2026-03-24 03:06:12 0000-00-00 00:00:00 2026 0 0 10 str. no. 1, [article no.] P1.10 Vol. 9 2026 0000-00-00 Zaloznikova Objavljeno NiDoloceno 0000-00-00 0000-00-00 2026-01-12 51 2590-9770 10.26493/2590-9770.1519.4b6 ADAM_Fenton,_Graver,_Hartung_2026.pdf ADAM_Fenton,_Graver,_Hartung_2026.pdf 1 EED7FDBFEB0EF7BF5F63CBC5F813E926 a3a96e73fe9cc2fcb89555f77efa85a89a0e45a0bf49229ee23d945d066902cb 110d57f8-2697-11f1-9e8d-005056ac49c0 https://repozitorij.upr.si/Dokument.php?lang=slv&id=33314 Založba Univerze na Primorskem 0 0 0