20.500.12556/RUP-23157 On the uniform structure of bipartite graphs admitting a dual adjacency matrix candidate Let Γ denote a finite, bipartite, connected graph with vertex set X. Fix x ∈ X and let ε ≥ 3 denote the eccentricity of x. For mutually distinct scalars {θ ∗ i }ε i=0 define a diagonal matrix A∗ = A∗(θ ∗ 0 , θ ∗ 1 , . . . , θ ∗ ε ) ∈ Mat X (R) as follows: for y ∈ X set (A∗)yy = θ ∗ ∂(x,y), where ∂ denotes the shortest path-length distance function of Γ. We say that A∗ is a dual adjacency matrix candidate of Γ with respect to x if the adjacency matrix A ∈ Mat X (R) of Γ and A∗ satisfy A3 A∗ − A∗ A3 + (β + 1)(A A∗ A2 − A2 A∗ A) = ρ(A A∗ − A∗ A) for some scalars β, ρ ∈ R. In this paper, we investigate when bipartite graphs that admit a dual adjacency matrix candidate also admit a uniform structure (in the sense of Terwilliger [6]). To do that, we first define a weakly uniform structure by slightly relaxing the conditions of uniform structure. The main result of this paper is that Γ admits a dual adjacency matrix candidate with respect to x if and only if Γ admits a weakly uniform structure with respect to x whose parameters satisfy some additional conditions. In particular, for β = 2, the weakly uniform structure is indeed a uniform structure. Naj bo Γ končen, bipartiten in povezan graf z množico vozlišč X. Izberimo x∈X in naj bo ε≥3 ekscentričnost vozlišča x. Za med seboj različne skalarje {θ i ∗ ​ } i=0 ε ​ definiramo diagonalno matriko A ∗ =A ∗ (θ 0 ∗ ​ ,θ 1 ∗ ​ ,…,θ ε ∗ ​ )∈Mat X ​ (R) na naslednji način: za vsak y∈X naj velja (A ∗ ) yy ​ =θ ∂(x,y) ∗ ​ , kjer ∂ označuje funkcijo razdalje po najkrajši poti v grafu Γ. Pravimo, da je A ∗ kandidat za dualno matriko sosednosti grafa Γ glede na vozlišče x, če matrika sosednosti A∈Mat X ​ (R) grafa Γ in matrika A ∗ zadoščata enačbi A 3 A ∗ −A ∗ A 3 +(β+1)(AA ∗ A 2 −A 2 A ∗ A)=ρ(AA ∗ −A ∗ A) za neka skalarja β,ρ∈R. V tem članku preučujemo, kdaj bipartitni grafi, ki dopuščajo kandidata za dualno matriko sosednosti, dopuščajo tudi uniformno strukturo v smislu Terwilligerja [6]. V ta namen najprej uvedemo pojem šibko uniformne strukture, ki nastane z rahlim omilitvijo pogojev uniformne strukture. Glavni rezultat članka je, da graf Γ dopušča kandidata za dualno matriko sosednosti glede na vozlišče x natanko tedaj, ko dopušča šibko uniformno strukturo glede na x, katere parametri zadoščajo določenim dodatnim pogojem. Posebej velja, da je pri β=2 šibko uniformna struktura dejansko uniformna struktura. uniform property dual adjacency matrix Q-polynomial property uniformna lastnost dualna metrika soslednosti Q-polinomska lastnost true false true Angleški jezik Slovenski jezik Članek v reviji 2026-06-18 15:12:34 2026-06-18 15:12:37 2026-06-19 03:05:03 0000-00-00 00:00:00 2026 0 0 str. 1-17 iss. 4, article no. 60 Vol. 63 Jun. 2026 0000-00-00 Zaloznikova NiDoloceno NiDoloceno 0000-00-00 0000-00-00 2026-06-05 519.17 0925-9899 10.1007/s10801-026-01546-3 282133507 RAZ_Fernandez_Blas_2026.pdf RAZ_Fernandez_Blas_2026.pdf 1 756505BF6B17A60B9FF97ED6DCB72932 60fb15ba47c95ca9e30a3fd3e97c57cec215b259bbb2682322b38400ccbf774c 5e95304e-6b17-11f1-9e8d-005056ac49c0 https://repozitorij.upr.si/Dokument.php?lang=slv&id=33850 https://link.springer.com/article/10.1007/s10801-026-01546-3 1 3b3a2df0-6b17-11f1-9e8d-005056ac49c0 https://repozitorij.upr.si/Dokument.php?lang=slv&id=33849 Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije 0 0 0