| Abstract: | V zadnjem času se je načrtovanje $s$-platoednih funkcij nad $\F_2^n$, znanih tudi kot funkcije s tri-vrednostnim Walshovim spektrom (ki zavzemajo vrednosti iz množice ${0, \pm 2^{\frac{n+s}{2}}}$), obravnavalo z algoritmičnim pristopom (na primer v IEEE Transactions on Information Theory, zv. 70, št. 2, str. 1408--1421, 2024), z namenom določanja uravnoteženih platoednih funkcij z maksimalno algebraično stopnjo (imenovanih optimalne). V tem članku identificiramo te optimalne platoedne funkcije znotraj razreda posplošenih Maiorana--McFarlandovih funkcij ($\mathcal{GMM}$) ter podamo zadostne pogoje, pri katerih te funkcije nimajo neničelnih linearnih struktur. Poleg tega uporabimo tehniko, podobno tisti, ki jo je C.~Carlet uporabil za modificiranje ukrivljenih funkcij v razredu Maiorana--McFarland ($\cM$), s čimer je izpeljal tako imenovana razreda $\cC$ in $\cD$, ter dobimo nove razrede platoednih funkcij iz razreda $\mathcal{GMM}$. Vendar pa v primeru, ko je funkcija $\phi$ v definiciji $f(x,y)=x \cdot \phi(y)+\delta_0(x)$ injektivna, ne moremo izpeljati podrazreda $\cD_0$, kot je to mogoče v primeru ukrivljenih funkcij. Pokažemo, da je to še vedno mogoče, kadar $\phi$ ni injektivna, čeprav postanejo zadostni pogoji v primerjavi s primerom ukrivljenih funkcij bolj zapleteni. Poleg tega smo morali za zagotovitev platoednosti znotraj razreda $\cC$ uvesti določene pogoje na dual platoedne funkcije, kar je v primerjavi s primerom ukrivljenih funkcij zahtevnejše, saj je dual definiran na podmnožici oziroma podprostoru ambientnega prostora. Na splošno pokažemo, da je z uporabo indikatorskih funkcij oblike $1_{E_1}(x)1_{E_2}(y)$, kjer sta podprostora $E_1 \subseteq \F_2^{k}$ in $E_2 \subseteq \F_2^{n-k}$ ustrezno izbrana, mogoče modificirati funkcijo $g(x,y)=x \cdot \phi(y) \in \mathcal{GMM}{k}^n$ ob ohranjanju platoednosti, tako da je $f(x,y)=x \cdot \phi(y)+1{E_1}(x)1_{E_2}(y)$ zunaj razreda $\mathcal{GMM}_{k}^n$. |
|---|
